garis sejajar, jarak dan jumlah sudut

GARIS SEJAJAR, JARAK DAN JUMLAH SUDUT

1.      Garis Sejajar

Garis-garis sejajar adalah garis-garis lurus yang terletak pada bidang yang sama dan tidak berpotongan sejauh apapun garis-garis tersebut diperpanjang. Simbol untuk garis-garis sejajar adalah ||; jadi ||  dibaca “garis  sejajar dengan garis  “.(Lihat Gambar 4-1)

                        B                  

A                        D

C

Gambar 4-1

Transversal (garis melintang) dari dua atau lebih garis adalah suatu garis yang memotong garis-garis tersebut. Jadi  adalah transversal dari  dan .

E

A                                 B

C                                 D

     F                 Gambar 4-2

Sudut dalam (sudut interior) yang terbentuk oleh dua garis dan dipotong oleh suatu transversal adalah sudut diantara kedua garis tersebut, sedangkan sudut luar (sudut eksterior) adalah sudut yang berada di luar garis-garis tersebut. Jadi dari kedelapan sudut yang terbentuk oleh  dan  yang dipotong oleh  dalam gambar di atas, sudut dalamnya adalah , , ,  ; dan sudut luarnya adalah  , , , .

Pasangan Sudut yang Terbentuk oleh Dua Garis yang Dipotong oleh suatu Transversal

Sudut-sudut yang bersesuaian dari dua garis yang dipotong oleh suatu transversal adalah sudut-sudut pada sisi yang sama dari transversal tersebut dan pada sisi yang sama dari garis-garis tersebut. Jadi  dan  dalam gambar  adalah sudut-sudut yang bersesuaian dari  dan  yang dipotong oleh transversal  . Ketika dua garis sejajar dipotong oleh suatu transversal, sisi-sisi dari dua sudut yang bersesuaian membentuk huruf kapital F dengan posisi yang berbeda-beda, seperti ditunjukkan pada gambar berikut:

E

A                                 B

C                                 D

                                                                  F

Gambar 4-3

Gambar 4-4

Sudut dalam berseberangan (alternate interior angles) dari dua garis yang dipotong oleh suatu transversal adalah sudut-sudut yang tidak berdampingan diantara kedua garis tersebut dan pada sisi-sisi yang berseberangan pada transversal tersebut. Jadi,  dan  pada Gambar 4-5 adalah sudut dalam berseberangan dari  dan  yang dipotong oleh transversal . Ketika garis-garis sejajar dipotong oleh suatu transversal, sisi-sisi dari dua sudut dalam berseberangan membentuk huruf kapital Z atau N dengan posisi yang berbeda-beda seperti ditunjukkan pada Gambar 4-6.

E

A                                 B

C                                 D

      F

Gambar 4-5

 

Gambar 4-6

Ketika garis-garis sejajar dipotong oleh suatu transversal, sudut dalam pada sisi transversal yang sama dapat dengan mudah ditentukan letaknya dengan menandai huruf kapital U yang terbentuk oleh sisi-sisinya (Gambar 4-7).

 

Gambar 4-7

Prinsip Garis Sejajar

Prinsip 1 : Melalui suatu titik tertentu yang tidak berada pada suatu garis tertentu, dapat dibuat satu dan hanya satu garis yang sejajar dengan garis tertentu tersebut.

Prinsip 2 : Dua garis disebut sejajar jika sepasang sudut yang bersesuaian kongruen.

Prinsip 3 : Dua garis disebut sejajar jika sepasang sudut dalam berseberangan kongruen

Prinsip 4 : Dua garis disebut sejajar jika sepasang sudut dalam pada sisi transversal yang sama adalah sudut-sudut suplementer

Prinsip 5 : Sejumlah garis disebut sejajar jika garis-garis tersebut tegak lurus terhadap satu garis yang sama (Garis-garis yang tegak lurus terhadap satu garis yang sama disebut sejajar)

Prinsip 6 : Sejumlah garis disebut sejajar jika garis-garis tersebut sejajar terhadap satu garis yang sama (Garis-garis yang sejajar terhadap satu garis yang sama disebut sejajar)

Prinsip 7 : Jika dua garis sejajar, setiap pasangan sudut-sudut yang bersesuaian kongruen (Sudut-sudut yang bersesuaian pada garis-garis sejajar kongruen)

Prinsip 8 : Jika dua garis sejajar, setiap pasangan sudut dalam berseberangan kongruen (Sudut dalam berseberangan pada garis-garis sejajar kongruen)

Prinsip 9 : Jika dua garis sejajar, setiap pasangan sudut dalam pada sisi transversal yang sama adalah sudut suplementer.

Prinsip 10 : Jika sejumlah garis sejajar, suatu garis yang tegak lurus terhadap salah satu diantara garis-garis sejajar tersebut tegak lurus juga terhadap garis-garis yang lainnya

Prinsip 11 : Jika sejumlah garis sejajar, suatu garis yang sejajar dengan salah satu diantara garis-garis sejajar tersebut sejajar juga dengan garis-garis yang lainnya

Prinsip 12 : Jika sisi-sisi dari dua sudut masing-masing sejajar satu sama lain, sudut sudut tersebut bersifat kongruen atau suplementer.

2.      Jarak

2.1 Jarak Antara Dua Bentuk Geometrik

Jarak antara dua bentuk geometrik adalah ruas garis lurus yang merupakan ruas garis terpendek diantara bentuk-bentuk tersebut.

1. Jarak diantara dua titik, seperti P dan Q pada Gambar 4-8(a), adalah ruas garis  yang terletak diantaranya

2. Jarak antara suatu titik dan suatu garis, seperti P dan  pada Gambar 4-8(b), adalah ruas garis  , garis tegak lurus dari titik menuju garis

                                                                       

           P                       A      P             B

            P                      Q                     A          Q         B        C      Q            D        

(a)               P                          (b)                             (c)

							Q
							(d)

                                                           P

(e)

Gambar 4-8

3. Jarak antara dua garis sejajar, seperti  dan  pada Gambar 4-8(c), adalah ruas garis, garis tegak lurus diantara kedua garis sejajar tersebut.

4. Jarak antara suatu titik dan suatu lingkaran, seperti P dan lingkaran pada Gambar 4-8(d), adalah ruas garis  , bagian dari  diantara titik dan lingkaran.

5. Jarak antara dua lingkaran konsentrik, misalnya dua lingkaran yang berpusat di O, adalah ruas garis  , bagian dari lingkaran yang berjari-jari lebih besar yang terletak diantara kedua lingkaran tersebut, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4-8(e).

Prinsip Jarak

Prinsip 1 : Jika suatu titik terletak pada garis berat (atau garis bagi tegak lurus) suatu ruas garis, maka titik ini berjarak sama dari ujung-ujung ruas garis tersebut

Prinsip 2 : Jika suatu titik berjarak sama dari ujung-ujung suatu ruas garis, maka titik ini terletak pada garis berat ruas garis tersebut. (Prinsip 2 adalah kebalikan Prinsip 1)

Prinsip 3 : Jika suatu titik terletak pada garis bagi suatu sudut, maka titik ini berjarak sama dari sisi-sisi sudut tersebut.

Prinsip 4 : Jika suatu titik berjarak sama dari sisi-sisi suatu sudut, maka titik ini terletak pada garis bagi sudut tersebut. (Prinsip 4 adalah kebalikan Prinsip 3)

Prinsip 5 : Dua titik yang masing-masing berjarak sama dari ujung-ujung suatu ruas garis akan menentukan garis berat ruas garis tersebut. (Garis yang menyatukan titik sudut-titik sudut dari dua segitiga sama kaki yang mempunyai dasar yang sama merupakan garis berat dasar segitiga tersebut)

Prinsip 6 : Garis berat pada sisi-sisi suatu segitiga bertemu di satu titik yang berjarak sama dari verteks-verteks segitiga tersebut

Prinsip 7 : Garis bagi pada sudut-sudut suatu segitiga bertemu di satu titik yang berjarak sama dari sisi-sisi segitiga tersebut.

3.      Jumlah Ukuran Sudut Segitiga

Semua sudut segitiga bisa dipotong, seperti pada Gambar 4-9(a), dan kemudian ditempelkan menjadi satu, seperti ditunjukkan pada (b). Ketiga sudut tersebut akan membentuk sudut lurus.

 

                      

 

                                                                                                                 (b)

                               (a)